Question

设随机变量X，Y相互独立，且都服从正态分布N（0，σ^2），求Z=（X^2+Y^2）^0.5的概率密度。

设随机变量X，Y相互独立，且都服从正态分布N（0，σ^2），求Z=（X^2+Y^2）^0.5的概率密度。

Answer 1

Z的分布叫做瑞利（Rayleigh）分布,具体求法：
f(x,y)=[1/(2πσ^2)]*e^-[(x^2+y^2)/2σ^2]
当z<0时，显然有f(z)=0
当z>=0时，有：
F(z)=∫∫f(x,y)dxdy,其中积分区域为x^2+y^2<=z^2
做变换x=r*sint,y=r*cost，则
F(z)=∫{0到2π}dt ∫{0到z}) [1/(2πσ^2)]*e^-[r^2/2σ^2] dr
=∫{0到z}) e^-[r^2/2σ^2] d(r^2/2σ^2)
=1-e^(-z^2/2σ^2)

接下来求概率密度就是求导，得：
f(z)=F'(z)=(z/σ^2)*e^(-z^2/2σ^2) (z>0)