Question

一道关于梯形的初二数学几何题。

图：
如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，点E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点. （1）试探索四边形EGDH的形状，并说明理由。 （2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？并加以证明。 （3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系。并证明你的结论。 －－－－－－－－－－－－－ 哎，为啥我觉得那么难呢！

Answer 1

你几何感不强~~~这题目主要运用了三角形的中位线平行底边~~切=1/2的底边长
1 是平行四边形 切4边相当
证明 因为是等腰梯形 所以三角形ABE全等于三角形EDC 所以BE=EC
所以EG和FH都是三角形的中位线 所以该图形是平行四边形
2 中点的时候是菱形 方法1就证明了 4边全等的平行四边形就是菱形
3 FE垂直平分BC,且EF=1/2BC.
∵菱形EGFH是正方形
G、F、H分别是BE、BC、CE的中点
∴GH为△BCE中位线,BF=CF,2EG=BE,2EH=CE,且EG=EH
∴GH=1/2BC,BE=CE,BF=CF EF=1/2BC,BE=CE,BF=CF
∴FE垂直平分BC,且EF=1/2BC

Answer 2

1.该图形是平行四边形。
证明：因为G.F.H分别是BE.BC.CE的中点，
所以可以得到相应的平行和线段一半。（三角形中位线定理）。
所以该图形是平行四边形（两对边平行）。
2.E为AD中点时。
因为E为AD中点，所以三角形ABE全等于三角形DCE。
所以BE=EC。由第一问得到的“线段一半”的结论，可以证得一组临边相等。所以该图形是菱形。
3.解:FE垂直平分BC,且EF=1/2BC.理由如下:
连接GH
∵菱形EGFH是正方形
∴GH=EF,EG=EH
又∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点
∴GH为△BCE中位线,BF=CF,2EG=BE,2EH=CE,且EG=EH
∴GH=1/2BC,BE=CE,BF=CF
∴EF=1/2BC,BE=CE,BF=CF
∴FE垂直平分BC,且EF=1/2BC

Answer 3

(1)平行四边形
因为G、F、H分别是BE、BC、CE的中点.
所以HF是△CEB的中位线
所以HF‖EB
同理GF‖EC
所以四边形EGDH的形状是平行四边形

(2)当点E运动到AD中点时，四边形EGFH是菱形
当点E运动到AD中点时
AE=ED
因为等腰梯形
所以得出△ABF≌△DCE
BE=CE
G、H分别是BE、CE的中点.
所以GE=EH
所以四边形EGFH是菱形

(3)因为菱形EGFH是正方形
所以EF⊥GH
又因为GH‖BC （由第一问可证）
所以EF⊥BC

Answer 4

（1）.该图形是平行四边形。
证明：因为G.F.H分别是BE.BC.CE的中点，
所以可以得到相应的平行和线段一半。（三角形中位线定理）。
所以该图形是平行四边形（两对边平行）。
（2）.E为AD中点时。
因为E为AD中点，所以三角形ABE全等于三角形DCE。
所以BE=EC。由第一问得到的“线段一半”的结论，可以证得一组临边相等。所以该图形是菱形。
（3）.解:FE垂直平分BC,且EF=1/2BC.理由如下:
连接GH
∵菱形EGFH是正方形
∴GH=EF,EG=EH
又∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点
∴GH为△BCE中位线,BF=CF,2EG=BE,2EH=CE,且EG=EH
∴GH=1/2BC,BE=CE,BF=CF
∴EF=1/2BC,BE=CE,BF=CF
∴FE垂直平分BC,且EF=1/2BC
或 3)∵菱形EGFH是正方形
∴EF⊥GH
又∵GH‖BC （由第一问可证）
∴EF⊥BC