Question

三道数学题（积分题和最值问题)

1. 在曲面z = √(x^2+ y^2 ) 上求一点，使得该点到点
（1，√2 ，3√3）的距离最短。
2. 求积分∫▒（ye^(1/y) + e^(1/y) ）dy。
3. 求微分方程y'' – y = x^3 的通解。(y''为y的二阶导数)
请数学高手解答，谢谢

Answer 1

设该点（x,y,z）到点（1，√2 ，3√3）的距离为d
则d^2=(x-1)^2+(y-√2)^2+(z-3√3)^2
又z = √(x^2+ y^2 )
属于条件极值，使用拉格朗日二乘法。构造函数：
F(x,y,z)=(x-1)^2+(y-√2)^2+(z-3√3)^2+λ(√(x^2+ y^2)-z)
则令
Fx'(x,y,z)=2(x-1)+λx/√(x^2+ y^2)=0
Fy'(x,y,z)=2(y-√2)+λy/√(x^2+ y^2)=0
Fz'(x,y,z)=2(z-3√3)-λ=0
而z = √(x^2+ y^2 )
解得：x=...，y=...，z=...

2.看不清积分区间，我只是求出不定积分，
题目是不是有问题？？
∫（ye^(1/y) -e^(1/y) ）dy
分部积分=1/2y^2e^(1/y)

3.对应的齐次方程为：y''–y，特征方程为：
r^2-1=0，解得r=-1,1
所以通解为：y=c1e^x+c2e^(-x)
比较右边形式，可设y=a1x^3+a2x^2+a3x+a4
则y''-y=6a1x+2a2-(a1x^3+a2x^2+a3x+a4)=x^3
则-a1x^3+a2x^2+（-a3+6a1)x+2a2-a4=x^3
则a1=-1，a2=0,a3=-6,a4=0
所以y=-6x-x^3
所以通解为：
y=c1e^x+c2e^(-x)-6x-x^3