Question

在三角形abc中,ab,bc,ac三边长分别为√5,√10,√13

1.在△ABC中，AB、BC、AC三变得长分别为根号5，根号10、根号13，求这个三角形的面积。
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）再在网格中画出格点三角形ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图（1）所示，这样不需要△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积。
（1）.请你将△ABC的面积直接填写在横线上＿＿
拓展思维：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法。若△ABC三边的长分别为√5a、
2√2a、√17a（a＞0），请利用图（2）的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积。
探索创新：
(3)若△ABC三边长分别为√m²+16n²、√9m²+4n²、2√m²+n²（m＞0，n＞0且m≠n）试运算构图法求出这个三角形的面积。

Answer 1

Answer 2

已知三角形的三边分别是a、b、c， 先算出周长的一半s=1/2(a+b+c) 则该三角形面积S=根号[s(s-a)(s-b)(s-c)] 代入可得，S=7/2这个公式叫海伦——秦九昭公式 证明： 设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C， 则根据余弦定理c??=a??+b??-2ab·cosC,得 cosC = (a??+b??-c??)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos??C) =1/2*ab*√[1-(a??+b??-c??)??/4a??b??] =1/4*√[4a??b??-(a??+b??-c??)??] =1/4*√[(2ab+a??+b??-c??)(2ab-a??-b??+c??)] =1/4*√{[(a+b)??-c??][c??-(a-b)??]} =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设s=(a+b+c)/2 则s=(a+b+c), s-a=(-a+b+c)/2, s-b=(a-b+c)/2, s-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 证明完毕 {*是乘号的意思，√是根号的意思}