Question

已知函数f x 根号3sin(wx+φ)-cos(wx+φ)(w>0,0<φ<π）为偶函数，求f(x)单调区间

已知函数f x 根号3sin(wx+φ)-cos(wx+φ)(w>0,0<φ<π）为偶函数，且函数y=f(x)图像的两相邻对线轴的距离为π/2，求f(x)单调区间

Answer 1

f(x)=(√3)sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)
=2{[(√3)/2]sin(ωx+φ)-(1/2)cos(ωx+φ)}
=2[sin(π/3)sin(ωx+φ)-cos(π/3)cos(ωx+φ)]
=-2cos(ωx+φ+π/3)
f(-x)=-2cos(-ωx+φ+π/3)
因为f(-x)=f(x)
所以cos(φ+π/3-ωx)=cos(φ+π/3+ωx)
所以φ+π/3=kπ，k∈Z
因为0<φ<π，
所以π/3<φ+π/3<π+π/3，
所以φ=2π/3，
所以f(x)=-2cos(ωx+π)，
即f(x)=2cosωx，
f(0)=2，由题意，f(π/2)=-2，即-2cos(ωπ/2+π)=-2，
所以ωπ/2=π，ω=2，
f(x)=2cos2x，T=π，
在[kπ，kπ+π/2]上是减函数，在[kπ-π/2，kπ]上是增函数，k∈Z。