Question

设F1,F2为双曲线的左右焦点,P为双曲线左支上一点,若|PF1|^2/|PF2|的最小值等于9a，求该双曲线的离心率

Answer 1

解：|PF2|-|PF1|=2a
|PF2|2=(|PF1|+2a)2=|PF1|2+4a|PF1|+4aa
|PF2|2/|PF1|=|PF1|+4a2/|PF1|+4a≧4a+4a=8a
当且仅当|PF1|=4a2/|PF1|即|PF1|=2a时成立
而|PF2|2/|PF1|的最小值是9a所以|PF1|≠2a
从图像上易知|PF1|的取值范围是[c-a，+∞）
所以2a不在[c-a，+∞）之内，c-a>2a
e= c/a>3
则当|PF1|=c-a时|PF1|+4a2/|PF1|最小为5a
(c-a)+4a2/(c-a)=5a
即10a2-7ac+c2=0 (2a-c)(5a-c)=0
e=c/a=2（舍去） 或e=c/a=5 肇东市第十中学刘奎军