Question

已知函数fx＝lnx－1/2ax²＋x.a∈r，问是否存在实数a,使得函数的极值大于零。若存在求出

a的范围，若不存在请说明理由

Answer 1

f'(x)=1/x-ax+1
当且仅当1/x-ax>-1
因为x>0
所以分两步走：
1. 0<x<=1
此时a>0
0<a<1
2.x>1
a<0
2a^0.5+1>0
a取任意数
综上：a取0<a<1

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答案是0＜a＜2

麻烦你再算一下谢谢

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第二问与极值大于零什么关系啊

问什么要求交点

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对称轴为什么大于1/2

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就看第二问

f（x）=0有两个不等的根，所以两个图象有两个不同的交点

因为题目要求极值大于0，而当x趋近于0或者x趋近于正无穷时，函数值小于0，所以函数与x轴必有两个大于0的交点，可转化为交点问题
函数y=1/2ax²-x的两个零点为x=0和x=2/a
因为y=lnx过（1，0），要使两函数有两个大于0的交点，那么画出图象，如果2/a=1的话，那么a=2，函数y=1/2ax²-x的两个零点为x=0和x=1，这个时候两函数只有一个交点，所以2/a＞1

即1/a＞1/2

也可以这样看，f（x）因为他的极值大于0，而当x趋近于0或者x趋近于正无穷时，函数值小于0，那我们就来考虑一个极端情况，设f（x）的极值等于0，此为极大值，所以函数y=1/2ax²-x与y=lnx只有一个交点，在交点的左右两侧函数值f（x）都是小于0的，所以可以得出函数y=1/2ax²-x与y=lnx在交点左右没有第二个交点了，也就是说此时两函数只有一个交点。而题目要求两函数有两个大于0的交点，所以2/a＞1（小于1无交点），所以1/a＞1/2