Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点， 与a=（3，

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点， 与a=（3，﹣1）共线．（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且 ，证明λ 2 +μ 2 为定值．





Answer 1

解：（1）设椭圆方程为 则 直线AB的方程为y=x﹣c， 代入 ， 化简得（a 2 +b 2 ）x 2 ﹣2a 2 cx+a 2 c 2 ﹣a 2 b 2 =0． 令A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则 ． ∵ 与 共线， ∴3（y 1 +y 2 ）+（x 1 +x 2 ）=0， 又y 1 =x 1 ﹣c，y 2 =x 2 ﹣c， ∴3（x 1 +x 2 ﹣2c）+（x 1 +x 2 ）=0， ∴ ． 即 ，所以a 2 =3b 2 ． ∴ ， 故离心率 ． （2）证明：由（1）知a 2 =3b 2 ， 所以椭圆 可化为x 2 +3y 2 =3b 2 ． 设M（x，y），由已知得（x，y）=λ（x 1 ，y 1 ）+μ（x 2 ，y 2 ）， ∴ ∵M（x，y）在椭圆上， ∴（λx 1 +μx 2 ） 2 +3（λy 1 +μy 2 ） 2 =3b 2 ． 即λ 2 （x 1 2 +3y 1 2 ）+μ 2 （x 2 2 +3y 2 2 ）+2λμ（x 1 x 2 +3y 1 y 2 ）=3b 2 ．① 由（1）知 ． ∴ ， ∴x 1 x 2 +3y 1 y 2 =x 1 x 2 +3（x 1 ﹣c）（x 2 ﹣c）=4x 1 x 2 ﹣3（x 1 +x 2 ）c+3c 2 = =0． 又x 1 2 +3y 1 2 =3b 2 ，x 2 2 +3y 2 2 =3b 2 ， 代入①得λ 2 +μ 2 =1． 故λ 2 +μ 2 为定值，定值为1．