Question

如图（1），BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、A

如图（1），BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N。（1）试说明：FG= （AB+BC+AC）；（2）①如图（2），BD、CE分别是△ABC的内角平分线；②如图（3），BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线。则在图（2）、图（3）两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由。





Answer 1

解：（1）∵AF⊥BD ∠ABF=∠MBF   ∴∠BAF=∠BMF ∴MB=AB ∴AF=MF    同理可说明：CN=AC，AG=NG ∴ FG是△AMN的中位线 ∴ FG= MN= （MB＋BC＋CN）= （AB＋BC＋AC） （2）图（2）中，FG= （AB＋AC－BC）    图（3）中，FG= （AC＋BC－AB）     ①如图（2），延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，由（1）中可知，MB="AB" ，AF=MF，CN=AC，AG=NG ∴FG= MN= （BM+CN-BC）= （AB＋AC－BC） ②如图（3）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，同样由（1）中可知，MB="AB" ，AF=MF，CN=AC，AG=NG ∴FG= MN= （CN＋BC－BM）= （AC＋BC－AB）

（1）由AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，得到∠BAF=∠BMF，进一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG，即可得出答案； （2）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，与（1）类似可以证出答案； （3）与（1）方法类同即可证出答案．