Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，D是 的中点，DE⊥AB于E，交AC于F。连结BD交AC于G。（1）求证：∠DAC=

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，D是 的中点，DE⊥AB于E，交AC于F。连结BD交AC于G。（1）求证：∠DAC=∠ADE；（2）若⊙O半径为5，OE=3，求DE、DF的长。

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Answer 1

解：（1）连结OD， ∵D是 的中点， ∴∠DBA=∠DAC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90° ∴∠DAB+∠DBA=90°， ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°， ∴∠DAB+∠EDA=90°， ∴∠DBA=∠EDA ∴∠DAC= ∠ADE； （2）在RT△ODE中，DE= ，设DF=x， ∵∠DAC=∠ADE， ∴DF=AF=x，FE=4-x 在Rt△AFE中， 由AF 2 =FE 2 +AE 2 ，AE=2， 得：x 2 =2 2 +（4-x） 2 ， 解得：x=2.5， 答：DE为4，DF值为2.5。