Question

如图，在直角坐标系中，已知点A（-1，0）、B（0，2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．（1）点C

如图，在直角坐标系中，已知点A（-1，0）、B（0，2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．（1）点C的坐标为（ ， ）；（2）若二次函数 的图象经过点C．①求二次函数 的关系式；②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y对应的取值范围；③在此二次函数的图象上是否存在点P（点C除外），使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

(1) ∴点C的坐标为(－3，1) ． (2)①∵二次函数 的图象经过点C(－3，1)， ∴ .解得   ∴二次函数的关系式为   ②当-1≤x≤4时， ≤y≤8； ③过点C作CD⊥x轴，垂足为D， i) 当A为直角顶点时，延长CA至点 ，使 ，则△ 是以AB为直角边的等腰直 角三角形，过点 作 ⊥ 轴， ∵ ＝ ，∠ ＝∠ ，∠ ＝∠ ＝90°， ∴△ ≌△ ，∴AE＝AD＝2， ＝CD＝1, ∴可求得 的坐标为(1，－1)，经检验点 在二次函数的图象上； ii） 当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取 ，得到以AB为直角边的等腰直角△ 和等腰直角△ ，作 ⊥y轴，同理可证△ ≌△ ∴  BF＝OA＝1，可得点 的坐标为（2， 1），经检验 点在二次函数的图象上．同理可得点 的坐标为（－2， 3），经检验 点不在二次函数的图象上 综上：二次函数的图象上存在点 (1，－1)， （2，1）两点，使得△ 和△ 是以AB为直角边的等腰直角三角形．

(1)根据旋转的性质得出C点坐标； （2）①把C点代入求得二次函数的解析式；②利用二次函数的图象得出y的取值范围；③分二种情况进行讨论.