Question

规定Cmx=x(x?1)…(x?m+1)m！，其中x∈R，m是正整数，且C0x=1，这是组合数Cmn（n、m是正整数，且m≤n）的

规定Cmx=x(x?1)…(x?m+1)m！，其中x∈R，m是正整数，且C0x=1，这是组合数Cmn（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．（1）求C3-15的值；（2）设x＞0，当x为何值时，C3x(C1x)2取得最小值？（3）组合数的两个性质；①Cmn=Cn-mm． ②Cmn+Cm-1n=Cmn+1．是否都能推广到Cmx（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．变式：规定Axm=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且Ax0=1，这是排列数Anm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．（1）求A-153的值；（2）排列数的两个性质：①Anm=nAn-1m-1，②Anm+mAnm-1=An+1m．（其中m，n是正整数）是否都能推广到Axm（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；（3）确定函数Ax3的单调区间．

Answer 1

（1）

C

3 ?15

＝

(?15)(?16)(?17)

3!

＝?680．
（2）

C 3 x

( C 1 x )2

＝

x(x?1)(x?2)

6x2

＝

1

6

(x+

2

x

?3)．
∵x＞0，x+

2

x

≥2

2

．
当且仅当x=

2

时，等号成立．
∴当x=

2

时，

C 3 x

( C 1 x )2

取得最小值．
（3）性质①不能推广，例如当x=

2

时，

C

1 2

有定义，但

C

2 ?1 2

无意义；
性质②能推广，它的推广形式是C_x^m+C_x^m-1=C_x+1^m，m是正整数．
事实上，当m=1时，有C_x¹+C_x⁰=x+1=C_x+1¹．
当m≥2时．

C

m x

+

C

m?1 x

＝

x(x?1)…(x?m+1)

m!

+

x(x?1)…(x?m?2)

(m?1)!

=

x(x?1)…(x?m+2)

(m?1)!

[

x?m+1

m

+1]=

x(x?1)…(x?m+2)(x+1)

m!

＝

C

m x+1

．

变式：解：（Ⅰ）A_-15³=（-15）（-16）（-17）=-4080；
（Ⅱ）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①A_x^m=xA_x-1^m-1，②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）
事实上，在①中，当m=1时，左边=A_x¹=x，右边=xA_x-1⁰=x，等式成立；
当m≥2时，左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）
=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xA_x-1^m-1，
因此，①A_x^m=xA_x-1^m-1成立；
在②中，当m=1时，左边=A_x¹+A_x⁰=x+1=A_x+1¹=右边，等式成立；
当m≥2时，
左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）
=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=A_x+1^m=右边，
因此②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）成立．
（Ⅲ）先求导数，得（A_x³）′=3x²-6x+2．
令3x²-6x+2＞0，解得x＜

3? 3

3

或x＞

3+ 3

3

．
因此，当x∈(?∞，

3? 3

3

)时，函数为增函数，
当x∈(

3+ 3

3

，+∞)时，函数也为增函数．
令3x²-6x+2＜0，解得

3? 3

3

＜x＜

3+ 3

3