已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(1,0)和B(0,5).(1)求这个抛物线的解析式.(2)设(1)中抛
已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(1,0)和B(0,5).(1)求这个抛物线的解析式.(2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C.抛物线的顶点为D,是求出点C...
已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(1,0)和B(0,5).(1)求这个抛物线的解析式.(2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C.抛物线的顶点为D,是求出点C、D的坐标和△BCD的面积.(3)点P是线段OC上一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点.是否存在点P,使得线段BC把△PCH分成面积相等的两部分?若存在,请求出点P的坐标.若不存在,请说明理由.
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(1)把(1,0)(0,5)代入y=-x2+bx+c得:
,
解得:
,
故二次函数解析式为y=-x2-4x+5.
(2)令y=0,则0=-x2-4x+5,
解得:x1=1,x2=-5,
∴C(-5,0),
由y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9得顶点D(-2,9),
过顶点D作DE⊥x轴交线段BC于E点如图①,
由点B、C得直线BC解析式为y=x+5,
∴当x=-2时,y=3,
∴E(-2,3),
∴DE=6,
∴S△BCD=S△BDE+S△CDE=
×5×6=15.
(3)存在.
理由如下:
若BC分△PCH为面积相等两部分,则需PH与线段BC的交点是线段PH的中点,
若设PH与线段BC的交点为Q,如图②,
设点P(x,0),则Q(x,x+5),H(x,-x2-4x+5),
由HQ=QP得,-x2-4x+5-(x+5)=x+5,
解得:x1=-1,x2=-5(舍去),
∴存在这样的点P,其坐标为P(-1,0).
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解得:
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故二次函数解析式为y=-x2-4x+5.
(2)令y=0,则0=-x2-4x+5,
解得:x1=1,x2=-5,
∴C(-5,0),
由y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9得顶点D(-2,9),
过顶点D作DE⊥x轴交线段BC于E点如图①,
由点B、C得直线BC解析式为y=x+5,
∴当x=-2时,y=3,
∴E(-2,3),
∴DE=6,
∴S△BCD=S△BDE+S△CDE=
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(3)存在.
理由如下:
若BC分△PCH为面积相等两部分,则需PH与线段BC的交点是线段PH的中点,
若设PH与线段BC的交点为Q,如图②,
设点P(x,0),则Q(x,x+5),H(x,-x2-4x+5),
由HQ=QP得,-x2-4x+5-(x+5)=x+5,
解得:x1=-1,x2=-5(舍去),
∴存在这样的点P,其坐标为P(-1,0).
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