Question

已知函数 f(x)= 2x+1 x+1 （1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（

已知函数 f(x)= 2x+1 x+1 （1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间[1，4]上的最大与最小值．

Answer 1

（1）任取x 1 ，x 2 ∈[1，+∞），且x 1 ＜x 2 ， f( x 1 )-f( x 2 )= 2 x 1 +1 x 1 +1 - 2 x 2 +1 x 2 +1 = ( x 1 - x 2 ) ( x 1 +1)( x 2 +1) ∵x 1 -x 2 ＜0，（x 1 +1）（x 2 +1）＞0， 所以，f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0，f（x 1 ）＜f（x 2 ）， 所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数． （2）由（1）知函数f（x）在[1，4]上是增函数． 最大值为 f(4)= 2×4+1 4+1 = 9 5 ，最小值为 f(1)= 2×1+1 1+1 = 3 2 ．