Question

设总体X服从区间（0，θ）上的均匀分布，其中θ＞0为未知参数．（X1，X2，…，Xn）是从该总体中抽取的一

设总体X服从区间（0，θ）上的均匀分布，其中θ＞0为未知参数．（X1，X2，…，Xn）是从该总体中抽取的一个样本．（1）求未知参数θ的极大似然估计θ；（2）求θ的概率密度函数；（3）判断θ是否为未知参数θ的无偏估计．





Answer 1

（1）记x_（1）=min（x₁，x₂，…，x_n），x_（2）=max（x₁，x₂，…，x_n）
由题意知，总体X的概率函数为 f(x)＝

1 θ ，0≤x≤θ 0 ，其它

 
由于0≤x₁，x₂，…，x₂≤θ，等价于0≤x_（1）≤x_（2）≤θ．
则似然函数为
L(θ)＝

n π

i＝1

f(xi)＝

1

θn

，0≤x_（1）≤x_（2）≤θ．
于是对于满足条件x_（2）≤θ的任意θ有
L(θ)＝

1

θn

≤

1

x n (2)

即L（θ）在θ=x_（2）时取到最大值

1

x n (2)

，故θ的最大似然估计值为

θ

＝x(2)＝

max

1≤i≤n

(xi)
∴θ最大似然估计量为 

θ

＝x(2)＝

max

1≤i≤n

(xi)
（2）X的密度函数为f(x)＝

1 θ ，0≤x≤θ 0 ，其它

 

则分布函数为F(x)＝

0 ，x≤θ x θ ，0＜x＜θ 1 ，x≥θ

因此

θ

＝x(2)＝

max

1≤i≤n

(xi)概率密度函数为
f

θ

(x)＝n[F(x)]n?1f(x)=

nxn?1 θ ，0＜x＜θ 0 ，其它

（3）由于E(

θ

)＝

∫

+∞ ?∞

xf

θ

(x)dx=

∫

θ 0

nxn

θ

dx＝

n

n+1

θ≠0
故

θ

不是θ的无偏估计．

Answer 2