已知函数f（x）=alnx+1，g（x）=x2+bx-1，（a，b∈R）．（1）若曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线平
已知函数f（x）=alnx+1，g（x）=x2+bx-1，（a，b∈R）．（1）若曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，求b的值；（2）当a＞0时，若对...
已知函数f（x）=alnx+1，g（x）=x2+bx-1，（a，b∈R）．（1）若曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，求b的值；（2）当a＞0时，若对?x∈R（1，e），f（x）＞x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设p（x）=f（x）+g（x），在（1）的条件下，证明当a≤0时，对任意两个不相等的正数x1，x2，有p(x1)+p(x2)2＞p（x1+x22）．
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（1）∵g'（x）=2x-
，由曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，
得g'（1）=2-b=0，解得b=2；
（2）令h（x）=f（x）-x=alnx+1-x，则h'（x）=
?1＝
，
当a≥e时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，e）上是增函数，有h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞x；
当1＜a＜e时，∵函数h（x）在（1，a）上递增，在（a，e）上递减，
对?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，即a≥e-1，∴e-1≤a＜e．
当a≤1时，函数h（x）在（1，e）上递减，对?x∈（1，e），要使f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，
而h（e）=a+1-e＜0，不合题意；
综上得对?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，a≥e-1．
（3）由p（x）=x2+
+alnx，
得
=
(x12+x22)+（
+
）+
(lnx1+lnx2)
=
(x12+x22)+
+aln
，
p（
）=(
)2+
+aln
，
由x12+x22＞2x1x2得2(x12+x22)＞(x1+x2)2?
(x12+x22)＞(
)2①，
又(x1+x2)2＝(x12+x22)+2x1x2＞4x1x2，
∴
＞
，②
∵
＜
，∴ln
＜ln
，
∵a≤0，∴aln
≥aln
，③
由①、②、③得
(x12+x22)+
+aln
＞(
| b |
| x2 |
得g'（1）=2-b=0，解得b=2；
（2）令h（x）=f（x）-x=alnx+1-x，则h'（x）=
| a |
| x |
| a?x |
| x |
当a≥e时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，e）上是增函数，有h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞x；
当1＜a＜e时，∵函数h（x）在（1，a）上递增，在（a，e）上递减，
对?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，即a≥e-1，∴e-1≤a＜e．
当a≤1时，函数h（x）在（1，e）上递减，对?x∈（1，e），要使f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，
而h（e）=a+1-e＜0，不合题意；
综上得对?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，a≥e-1．
（3）由p（x）=x2+
| 2 |
| x |
得
| p(x1)+p(x2) |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| a |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| x1+x2 |
| x1x2 |
| x1x2 |
p（
| x1+x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 4 |
| x1+x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
由x12+x22＞2x1x2得2(x12+x22)＞(x1+x2)2?
| 1 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
又(x1+x2)2＝(x12+x22)+2x1x2＞4x1x2，
∴
| x1+x2 |
| x1x2 |
| 4 |
| x1+x2 |
∵
| x1x2 |
| x1+ x2 |
| 2 |
| x1x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
∵a≤0，∴aln
| x1x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
由①、②、③得
| 1 |
| 2 |
| x1+x2 |
| x1x2 |
| x1x2 |
x1+x2
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