Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8cm，CD＝2cm，AD＝6cm。点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8cm，CD＝2cm，AD＝6cm。点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）．设P、Q同时出发并运动了t秒。 （1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图1。 ∵ABCD是等腰梯形，∴四边形CDEF是矩形， ∴DE="CF"     又∵AD=BC， 又CD=2cm，AB=8cm，∴EF=CD=2cm 若四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形。 ∵CQ=t，∴DQ=EP=2－t      （2）在Rt△ADE中，        当 时， ①如图2，若点Q在CD上，即0≤t≤2 则CQ=t，BP=8－2t        解之得t=3（舍去）       ②如图3，若点Q在AD上，即2<t≤4 过点Q作HG⊥AB于G，交CD的延长线于H 由图1知， ，则∠A=60° 在Rt△AQG中，AQ=8－t，QG=AQ·sin60° ， 在Rt△QDH中，∠QDH=60°，DQ=t－2        由题意知， 即 ，解之得 （不合题意，舍去），         答：存在 ，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半。

（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，通过 ，得 ，若四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，通过 ，代入 值，即可求解 （2）假设当 时，通过点Q在CD上或在AD上，两种情况进行讨论、求解