设x=3是函数f(x)＝e3(x2+ax+b)ex，(a＞0，x∈R)的一个极值点．（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（
设x=3是函数f(x)＝e3(x2+ax+b)ex，(a＞0，x∈R)的一个极值点．（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调递增区间；（2）设g(x)＝(...
设x=3是函数f(x)＝e3(x2+ax+b)ex，(a＞0，x∈R)的一个极值点．（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调递增区间；（2）设g(x)＝(a2+254)ex，若存在x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）-g（x2）|＜1成立，求实数a的取值范围．
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（1）∵f(x)＝
，(x∈R)，
∴f′(x)＝
，
∵函数f(x)＝
，(a＞0，x∈R)的一个极值点是x=3．
∴f′(3)＝
＝0，
∴b=-2a-3，
∵a＞0，令f′(x)＝
＞0，
即x2-（2-a）x-（3+1）a＜0
解得：-1-a＜x＜3，
所以f（x）的单调递增区间是：[-1-a，3]；
（2）由（1）可得，函数f（x）在[0，3]上单调递增，在[3，4]上单调递减，
∴fmax（x）=f（3）=a+6，且f(0)＝?(2a+3)e3＜f(4)＝
∴函数f（x）在x∈[0，4]的值域为[-（2a+3）e3，a+6]，
又g′(x)＝(a2+
)ex＞0，
∴g（x）在[0，4]上单调递增，
故g（x）在x∈[0，4]的值域为[a2+
，(a2+
)e4]，
若存在x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）-g（x2）|＜1成立，
等价于|fmax（x）-gmin（x）|＜1或|gmax（x）-fmin（x）|＜1，
又∵a2+
≥a+6，
于是：
| e3(x2+ax+b) |
| ex |
∴f′(x)＝
| e3(?x2+2x?ax+a?b) |
| ex |
∵函数f(x)＝
| e3(x2+ax+b) |
| ex |
∴f′(3)＝
| e3(?32+2×3?3a+a?b) |
| e3 |
∴b=-2a-3，
∵a＞0，令f′(x)＝
| e3(?x2+2x?ax+3a+3) |
| ex |
即x2-（2-a）x-（3+1）a＜0
解得：-1-a＜x＜3，
所以f（x）的单调递增区间是：[-1-a，3]；
（2）由（1）可得，函数f（x）在[0，3]上单调递增，在[3，4]上单调递减，
∴fmax（x）=f（3）=a+6，且f(0)＝?(2a+3)e3＜f(4)＝
| e3(13+2a) |
| e4 |
∴函数f（x）在x∈[0，4]的值域为[-（2a+3）e3，a+6]，
又g′(x)＝(a2+
| 25 |
| 4 |
∴g（x）在[0，4]上单调递增，
故g（x）在x∈[0，4]的值域为[a2+
| 25 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
若存在x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）-g（x2）|＜1成立，
等价于|fmax（x）-gmin（x）|＜1或|gmax（x）-fmin（x）|＜1，
又∵a2+
| 25 |
| 4 |
于是：
|
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