Question

已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF

已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG=12（AB+AC+BC）．若：（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．

Answer 1

解答：解：（1）猜想结果：如图结论为FG=

1

2

（AB+AC-BC）
证明：分别延长AG、AF交BC于H、K，
在△BAF和△BKF中，
∵

∠ABD＝∠FBK BF＝BF ∠BFA＝∠BFK

，
∴△BAF≌△BKF（ASA），
∴AF=KF，AB=KB
同理可证，AG=HG，AC=HC
∴FG=

1

2

HK
又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC
∴FG=

1

2

（AB+AC-BC）

（2）图3的结论为FG=

1

2

（BC+AC-AB）．
证明：分别延长AG、AF交BC或延长线于H、K
在△BAF和△BKF中，
∵

∠ABD＝∠DBK BF＝BF ∠BFA＝∠BFK

，
∴△BAF≌△BKF（ASA），
∴AF=KF，AB=KB
同理可证，AG=HG，AC=HC，
∴FG=

1

2

KH
又∵KH=BC-BK+HC=BC+AC-AB．
∴FG=

1

2

（BC+AC-AB）．