Question

已知函数f（x）=ax-lnx，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=-x．（Ⅰ）求a

已知函数f（x）=ax-lnx，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=-x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=

a

x

-lnx，
∴f′(x)＝?

a

x2

?

1

x

，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=-x，
∴f′（1）=-a-1=1，
∴a=-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)＝?

2

x

?lnx，则f′(x)＝

2

x2

?

1

x

＝

2?x

x2

，
令f′（x）=0，解得x=2，
又f（x）的定义域为（0，+∞），
当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）内为增函数，
当x∈（2，∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（2，∞）内为减函数．
由此知函数f（x）在x=2处取得极大值，为f（2）=-1-ln2．