Question

在三角形ABC中已知AB>AC,AD为角BAC的平分线，P为AD上任意一点。求证：AB-AC>PB-PC.

Y要有过程

Answer 1

分析:在AB上取一点E,使AE=AC,连结PE,所以AB-AC=AB-AE=BE,在 PEB中,AB-AC>PB-PE,而PE=PC可证,思路畅通.

证明:在ABC中,
∵AB>AC
∴可在AB上取一点E,使AE=AC
∴AB-AE=AB-AC=BE
∵AD平分BAC
∴EAP=CAP
在AEP和ACP中

∴AEP≌ACP (SAS)
∴PE=PC
∵在BPE中
BE>BP-PE
∴AB-AC>PB-PC
注意:对于角平分线这一条件在添加辅助线时,常常采用翻折法的思想截长或补短.

第一种方法：

1)证明: 在ab上取一点c',使ac'=ac,bc'=ab-ac'=ab-ac
由于pa是角bac的角平分线==>c'ap=<cap ac'=ac,ap=ap

所以▲apc'和▲apc全等==>pc'=pc

在▲pc'b中: pb<pc'+bc'==>pb-pc'<bc' ==>pb-pc<bc' bc'=ab-ac

所以PB-PC<AB-AC.

注意：上面的小写你要改成大写字母

第二种方法：

2)在ac的延长线上取点b',ab'=ab,cb'=ab'-ac=ab-ac

很明显▲pab和▲pab'全等==>pb=pb'
在▲pcb'中，两边之和大于第三边 ==>pb'<pc+cb'==>pb'-pc<cb' ==>pb-pc<cb' cb'=ab-ac 带入即可