Question

若0＜x＜2，求y=(1/x)+[4/(2-x)]的最小值。

Answer 1

0<x<2，则x>0且2-x>0

∴y=1/x+4/(2-x)

=1²/x+2²/(2-x)

≥(1+2)²/[x+(2-x)]

=9/2

寻找函数最大值和最小值

找到全局最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合间隔上是连续的，则通过最值定理存在全局最大值和最小值。此外，全局最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或者必须位于域的边界上。

因此，找到全局最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小）一个。

Answer 2

0<x<2，则x>0且2-x>0.
∴y=1/x+4/(2-x)
=1²/x+2²/(2-x)
≥(1+2)²/[x+(2-x)]
=9/2.
∴x:1=(2-x):2，
即x=2/3时，
所求最小值y|min=9/2。

本题还可用判别式法或均值不等式法解答，但没有这方法简洁优美。

追问

为什么可以这样解呢？≥(1+2)²/[x+(2-x)]是怎么得出来的

追答

这是权方和不等式，也是Cauchy不等式的变形啊!

追问

表示没学过。。。最近学的是基本不等式