Question

请问幂级数∑(n＝1，∞)nx^n-1的和函数的范围是怎么来的？

答案是1/(1-x)²，x∈(-1，1)这个-1到1是怎么来的呀

Answer 1

具体解析如下：

令an=nx^(n-1)     由a(n+1)/an=(n/(n-1))*x<1可得。

|x|<1   所以收敛域为：|x|<1。

Sn=1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)。

xSn=1x+2x^2+3x^3+...+nx^n。

相减得：(1-x)Sn=1+x+x^2+....+x^(n-1)-nx^n。

=1+(x(-1x^(n-1)))/(1-x)-nx^n。

取极限可得S=1+x/(1-x)=1/(1-x)   S即为和函数。

幂级数与解析函数：

幂级数局部上由收敛幂级数给出的函数叫做解析函数。解析函数可分成实解析函数与复解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数，并且在所有点上都可展。

根据零点孤立原理，解析函数的零点必然是孤立点。在复分析中，所有的全纯函数（即复可微函数）都是无穷可微函数，并是复解析函数，这在实分析中则不然。

在抽象代数中，幂级数研究的重点是其作为一个半环的代数性质。幂级数的系数域是实数或复数或其它的域不再重要，敛散性也不再讨论。这样抽离出的代数概念被称为形式幂级数。形式幂级数在组合代数有重要用处，例如作为母函数而运用在许多组合恒等式的推导中。

Answer 2

解答：用柯西判别法可以判断收敛半径为1，另外在1处显然发散，在-1处为莱布尼茨型级数显然收敛,所以收敛域为[-1，1)，令S=∑(∞，n=1)1/nx∧n，则S ′=∑(∞，n=1)x∧(n-1)=1/(1-x)所以S=∫1/(1-x)dx=-ln(1-x)+C，由S(0)=0可知C=0，所以S=-ln(1-x)(端点-1处的值利用幂级数的连续性可知也满足这个式子)。

∑ n x^(n+1) ，a(n) = n，a(n+1) / a(n) ->1=> 收敛半径 R = 1，收敛区间 (-1，1)看区间端点x= ±1，∑ n 与 ∑ n (-1)^(n+1) 通项极限不存在，故发散，所以收敛域 (-1，1)。

扩展资料：

求幂级数的和函数的步骤：

1、求出收敛域。

2、在收敛区间上利用已知无穷级数的和函数或者逐项积分、逐项求导的方法求出和函数。

3、利用和函数的连续性, 考察上一步求出的和函数与原来函数在端点处是否相等.

Answer 3

|u(n＋1) / u(n)|
＝(n＋1)/n * |x|
＝＝> |x| (n ＝＝> ∞)，
令 |x|＜1，得 - 1＜x＜1。

追问

意思是幂级数有和函数的条件必须是收敛对吗

追答

是的，收敛后才能求和函数

追问

好的 谢谢