Question

高中导数 题

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Answer 1

6. f(x)=x³-ax²-3x，在区间[1，+∞）内单调增，求a的取值范围
解: f'(x)=3x²-2ax-3>0在区间[1，+∞)内恒成立；故其对称轴x=a/3 ≦1，即a≦3..........①;
f'(1)=3-2a-3=-2a≧0，即a≦0...........②
①∩②={a∣a≦0}，这就是a的取值范围。
5. 已知f(x)=alnx+(1/2)x²-(1+a)x；求单调区间；
解：f'(x)=(a/x)+x-(1+a)=[x²-(1+a)x+a]/x=(x-a)(x-1)/x;
(一）。当a<0时,在区间(-∞，a]∪(0，1]内f'(x)≦0，因此在此二区间内f(x)单调减；
在区间[a，0)∪[1，+∞)内f'(x)≧0，因此在二区间内f(x)单调增；
当a=0时, f'(x)=x-1；此时在区间(-∞，1]内f'(x)≦0，故在此区间内f(x)单调减；在区间
[1，+∞）内f'(x)≧0，故在此区间内f(x)单调增；
(二)。当0<a<1时；在区间(-∞，0)∪(0，1]内f'(x)≦0，故在此二区间内f(x)单调减；在区间
[a，0)∪[1，+∞）内f'(x)≧0，故f(x)在此二区间内单调增；
(三)。当a=1时，f'(x)=(x-1)²/x；此时在区间(-∞，0)内f'(x)<0，故f(x)再次区间内单调减；
在区间(0，+∞）内f'(x)>0，故在此区间内f(x)单调增；
(四)。当a>1时，在区间(-∞，0)∪[1，a]内f'(x)≦0，故f(x)在此二区间内单调减；
在区间(0，1]∪[a，+∞)内f'(x)≧0，故在此二区间内f(x)单调增；
2. 写出y=-(x+2/x)+lnx的单调区间
解：定义域：(0，+∞）
y'=-(1-2/x²)+(1/x)=(2/x²)+(1/x)-1=(2+x-x²)/x²=-(x²-x-2)/x²=-(x-2)(x+1)/x²;
当x∈(0，2]时y'≧0，故在此区间内y单调增；
当x∈[2，+∞)时y'≦0，故在此区间内y单调减。