Question

求函数y=(3+sinX)/(4+2cosX)的值域?要过程

急 急！！高手你在哪！

Answer 1

如果是y=3+（sinx/4）+2cosx，求值域。
√[(1/4)^2+2^2]=(√65)/4
y=3+[(√65)/4][(sinx)(1/√65)+(cosx)(8/√65)]=3+[(√65)/4]sin(x+a)
这里cosa=1/√65,sina=8/√65
因为-1≤sin(x+a)≤1
所以函数的值域：3-(√65)/4≤y≤3+(√65)/4
如果是y=3+sinx/（4+2cosx），求值域。
y'=(4cosx+2)/[(4+2cosx)^2],令y'=0,则cosx=-1/2
驻点：x=2π/3+2kπ，x=4π/3+2kπ（k为整数）
求得：y(2π/3+2kπ)=3+(√3)/6（最大值）,y(4π/3+2kπ)=3-(√3)/6（最小值）
所以函数的值域是：3-(√3)/6≤y≤3+(√3)/6。
上面那位是按y=(3+sinx)/(4+2cosx)求的（以后题目要写清楚）。

Answer 2

去分母并且整理得到：
sinx-2ycosx=4y-3,两边同乘以1/(4y^2+1)^0.5,得到：
sinx*1/(4y^2+1)^0.5-cosx*2y/(4y^2+1)^0.5=(4y-3)/(4y^2+1)^0.5,
令tant=2y,sint=2y/根号(4y^2+1),cont=1/根号(4y^2+1)。得到：
sin(x-t)=(4y-3)/(4y^2+1)^0.5.
此等式成立的充要条件是：|4y-3|/(4y^2+1)^0.5≤1.
去分母并且平方之，得到：16y^2-24y+9=<4y^2+1,12y^2-24y+8=<0
移项、化简得到：1-(3^0.5)/3≤y≤1+(3^0.5)/3.
这就得到函数的值域：[1-(3^0.5)/3,1+(3^0.5)/3]。

备注：3^0.5表示根号3.