Question

求由曲线y＝2－x²和y＝根号下绝对值x所围成的面积

Answer 1

由图像的对称性，先求曲线y=2-x^2与曲线y=√|x|在第一、四象限内的交点，即令x>0
2-x^2=√x
4-4x^2+x^4=x
x^4-4x^2-x+4=0
(x-1)(x^3+x^2-3x-4)=0
因为曲线y=2-x^2在第一、四象限内单调递减，曲线y=√|x|在第一、四象限内单调递增
所以曲线y=2-x^2与曲线y=√|x|在第一、四象限内有唯一交点，即(1,1)
设曲线y=2-x^2与曲线y=√|x|在第一、四象限内所围成的面积为S
由图像的对称性得，曲线y=2-x^2与曲线y=√|x|所围成的面积为2S
所以，
2S
=
2
∫[0,1]
[
(2-x^2)
-
(√|x|)
]
dx
=
2
∫[0,1]
(
-x^2-√x+2
)
dx
=
2
[-(1/3)x^3-(2/3)x^(3/2)+2x][0,1]
=
2
[-(1/3)-(2/3)+2]
=
2
*
1
=
2