求极限lim[e^xsinx-x(1+x)]/x^3 其中X趋向于0
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简单分析一下，答案如图所示
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连续使用罗比达法则：
原式= lim [e^x(sinx+cosx) -1-2x ] / (3x²)
= lim ( 2e^x cosx -2 ) / 6x
=lim e^x (cosx - sinx) / 3
= 1/3
原式= lim [e^x(sinx+cosx) -1-2x ] / (3x²)
= lim ( 2e^x cosx -2 ) / 6x
=lim e^x (cosx - sinx) / 3
= 1/3
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用泰勒公式也行。e^x取前3项。sinx取前两项
e^x=1+x+x²/2
sinx=x-x³/3!
原式=lim.x→0[(1+x+x²/2)(x-x³/3!)-x-x²]/x³
=lim.x→0(x³/2-x³/6-x^4/6-x^5/12)/x³
=lim.x→0(1/3-x/6-x²/12）
=1/3
e^x=1+x+x²/2
sinx=x-x³/3!
原式=lim.x→0[(1+x+x²/2)(x-x³/3!)-x-x²]/x³
=lim.x→0(x³/2-x³/6-x^4/6-x^5/12)/x³
=lim.x→0(1/3-x/6-x²/12）
=1/3
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