Question

已知直线l1：x+2y+1=0，l2：-2x+y+2=0，它们相交于点A．（1）...

已知直线l1：x+2y+1=0，l2：-2x+y+2=0，它们相交于点A． （1）判断直线l1和l2是否垂直？请给出理由； （2）求A点的坐标及过点A且与直线l3：3x+y+4=0平行的直线方程（请给出一般式） （3）求直线l1上点P（1，y1），Q（x2，1）与B（2，1）构成的三角形的面积．

Answer 1

解：（1）可得直线l1：x+2y+1=0，
l2：-2x+y+2=0的斜率分别为k1=-12，k2=2，
满足k1•k2=-12×2=-1，
∴l1，⊥l2
（2）联立{x+2y+1=0-2x+y+2=0，解方程组可得{x=35y=-45，
故点A的坐标为（35，-45），由于直线l3：3x+y+4=0的斜率为-3，
故所求直线的方程为y-（-45）=-3（x-35），
化为一般式可得：3x+y-1=0
（3）把x=1代入x+2y+1=0可得y1=-1，把y=1代入x+2y+1=0可得x2=-3，
∴P，Q的坐标分别为（1-，1）和（-3，1），
∴|PQ|=√(-3-1)2+(1-1)2=4，
点B（2，1）到直线l1的距离为d=|2×1+2×1+1|√12+22=√5，
∴所求三角形的面积为S=12|PQ|d=12×4×√5=2√5