Question

计算∬xdydz+ydzdx+zdxdy，其中∑为曲面z=√(x^2+y^2+z^2)位于平面z=2下方部分的下侧？

第二类曲面积分问题：计算∬xdydz+ydzdx+zdxdy，其中∑为曲面z=√(x^2+y^2+z^2)位于平面z=2下方部分的下侧.

Answer 1

答案为4π

追问

烦请您讲解下过程，是用高斯公式还是直接计算吗？

Answer 2

补充平面 ∑1：z = 2（x^2+y^2 ≤ 4）, 取上侧，成封闭曲面, 则
I = ∫∫<∑> = ∯<∑+∑1> - ∫∫<x^2+y^2 ≤ 4>
前者用高斯公式， 后者 z = 2， dz = 0， 得
I = ∫∫∫<Ω> 3dv - ∫∫<D> 2dxdy
= 3 · (π/3) · 2^2 · 2 - 2 · π · 2^2
= 8π - 8π = 0

Answer 3

答案是4π。

追问

您好，可以简单说一下过程吗？