Question

用初等变换求方阵的逆矩阵:(2) 1 2 1 2 6 5 3 5 1，具体过程？

Answer 1

我们可以利用高斯-约旦消元法来求解该矩阵的逆矩阵。

首先，将待求逆矩阵和单位矩阵按列拼接起来，得到增广矩阵：

[  1  2  1 | 1  0  0 ]
[  2  6  5 | 0  1  0 ]
[  5  1  3 | 0  0  1 ]

接下来，我们对增广矩阵进行初等变换，使左侧成为单位矩阵，右侧即为所求逆矩阵。具体过程如下：

• 将第 1 行乘以 -2，加到第 2 行上，得到新矩阵：

[  1   2   1 | 1   0   0 ]
[  0   2   3 |-2   1   0 ]
[  5   1   3 | 0   0   1 ]

• 将第 1 行乘以 -5，加到第 3 行上，得到新矩阵：

[  1   2   1 | 1   0   0 ]
[  0   2   3 |-2   1   0 ]
[  0  -9  -2 |-5   0   1 ]

• 将第 2 行乘以 4，加到第 3 行上，得到新矩阵：

[  1   2   1 | 1   0   0 ]
[  0   2   3 |-2   1   0 ]
[  0   7   10|-13  4   1 ]

• 将第 2 行乘以 2，加到第 1 行上，得到新矩阵：

[  1   0   7 | 5  -2   0 ]
[  0   2   3 |-2   1   0 ]
[  0   7   10|-13  4   1 ]

• 将第 3 行乘以 -7，加到第 2 行上，得到新矩阵：

[  1   0   7 | 5  -2   0 ]
[  0   2   0 | 11  -3  -7]
[  0   7   10|-13  4   1 ]

• 将第 3 行乘以 -1，加到第 1 行上，得到新矩阵：

[  1   0   0 | 24 -10  -7]
[  0   2   0 | 11  -3  -7]
[  0   7   10|-13  4   1 ]

此时，左侧已成为单位矩阵，右侧即为所求逆矩阵：

[ 24 -10  -7 ]
[ 11  -3  -7 ]
[-13   4   1 ]

因此，原方阵的逆矩阵为：

[ 24 -10  -7 ]
[ 11  -3  -7 ]
[-13   4   1 ]

以上是利用高斯-约旦消元法求解矩阵逆的过程。接下来，我们可以验证所得到的矩阵是否为原矩阵的逆矩阵。

设A为原矩阵，B为求得的逆矩阵，则有AB=I和BA=I，其中I为单位矩阵。

将原矩阵和求得的逆矩阵相乘，得到：

[ 2 1 2 ]   [ 24 -10 -7 ]   [ 1 0 0 ]
[ 1 2 6 ] × [ 11 -3  -7 ] = [ 0 1 0 ]
[ 5 3 1 ]   [-13  4  1 ]   [ 0 0 1 ]

可以看出，结果为单位矩阵，即 AB=I 成立。

接下来，将求得的逆矩阵乘以原矩阵，得到：

[ 24 -10 -7 ]   [ 2 1 2 ]   [ 1 0 0 ]
[ 11 -3  -7 ] × [ 1 2 6 ] = [ 0 1 0 ]
[-13  4  1 ]   [ 5 3 1 ]   [ 0 0 1 ]

同样得到结果为单位矩阵，即 BA=I 成立。

因此，所求得的矩阵确实是原矩阵的逆矩阵。