Question

A的平方-E是否等于（A-E）（A+E），A，E为矩阵

Answer 1

问：A的平方-E是否等于（A-E）（A+E），A，E为矩阵

答：不成立。要成立，需要满足以下条件之一：1. A和E是对称矩阵且可交换，即AE=EA；2. A和E是反对称矩阵且A^2=E^2=0。否则，左边的式子一般不等于右边的式子。例如，考虑以下矩阵：A = [1 2; 3 4]E = [0 1; -1 0]则A的平方-E等于：A^2 - E = [1 4; 9 16] - [0 1; -1 0] = [1 3; 10 16]而（A-E）（A+E）等于：(A-E) (A+E) = [1 1; 3 3] [1 3; 3 5] = [4 10; 12 28]可以看到，左右两边的结果不相等。

问：那加一个前提条件A的平方等于E呢

答：您若加一个前提条件，假设A的平方等于E，也就是A²=E，那么你可以使用这个条件来推导出以下公式：A⁴ = (A²)² = E² = E因此，将A⁴替换A²和AE中的A，就可以得到以下等式：AE - EA = (A²E - E²A) = (AE - EA) (AE + EA)分母中的(AE + EA)可以被化简为2AE，因此可以将其约掉，得到：AE - EA = 1/2(AE - EA) (A² + E²)移项可得：1/2(AE - EA) (A² - E²) = 0这意味着，如果A² = E，并且A和E不对易，那么AE - EA = 0。但是请注意，如果A和E对易，那么AE - EA = 0，无论A²和E²是否相等。