有大佬能解答一下这道题吗?线性代数

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认真答却总被删BAIDU我凭什么同情你
2023-04-09 · TA获得超过443个赞
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1)观察行列式展开式中x^4的次数,并说明理由。

我们沿着第一行展开行列式,可以得到以下式子:

D(x) = x * | x 2 2 | - 1 * | 2 x 2 | + 1 * | 2 2 x | - 1 * | 2 2 3 |

| 3 3 3 |       | 3 3 3 |       | 3 3 3 |       | 3 3 x |

| 4 4 x |       | 4 4 x |       | 4 4 x |       | 4 4 4 |

观察这四个子行列式,我们可以发现,每个子行列式中均有且仅有一个x。因此,在D(x)的展开式中,x^4的项来源于每个子行列式中x的贡献。总共有4个子行列式,所以x^4的次数为4。

2)观察x取哪些值时该行列式为0,并由此得到该行列式的展开式。

考虑到行列式中的其他元素都是常数,当行列式等于0时,至少有一行或一列中的常数项相等。通过观察,我们发现:

  • 当x = 2时,第一行和第二行的常数项相等,所以D(2) = 0。

  • 当x = 3时,第一行和第三行的常数项相等,所以D(3) = 0。

  • 当x = 4时,第一行和第四行的常数项相等,所以D(4) = 0。

  • 于是我们可以得出结论,当x取值为2、3、4时,行列式为0。

    根据行列式的性质,行列式的展开式可以表示为:

D(x) = k(x - 2)(x - 3)(x - 4)

其中k为常数。为了求解k,我们可以取x = 1代入上式,计算D(1):

D(1) = | 1 1 1 1 |

| 2 1 2 2 |

| 3 3 1 3 |

| 4 4 4 1 |

由于第一列的1可以消去其他列的常数项,所以D(1) = 1。

代入D(x) = k(x - 2)(x - 3)(x - 4)中,我们得到:

1 = k(1 - 2)(1 - 3)(1 - 4)

解得k = 1。因此,该行列式的展开式为:

D(x) = (x - 2)(x - 3)(x - 4)

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