Question

lim(x→0)(1-√1+x^2)/x(e^x-1)

Answer 1

要求此极限，可以使用洛必达法则，它可以帮助我们计算形如 f(x)/g(x) 的极限。

将这个极限表示为 f(x)/g(x) 的形式：

f(x) = 1 - √(1 + x^2)

g(x) = x(e^x - 1)

然后，对 f(x) 和 g(x) 求导：

f'(x) = -x/√(1 + x^2)

g'(x) = e^x/x - (e^x - 1)/x^2

接下来，将 x = 0 代入 f(x) 和 g(x)，得到：

f(0) = 1 - √1 = 0

g(0) = 0(e^0 - 1) = 0

因此，我们可以将原极限表示为以下形式：

lim(x0) f(x)/g(x) = lim(x0) f'(x)/g'(x)

将 f'(x) 和 g'(x) 代入式子，得到：

lim(x0) -x/[√(1 + x^2) × (e^x/x - (e^x - 1)/x^2)]

接下来，我们将此式子简化。首先，我们可以通过因式分解将分母中的 x 提取出来：

lim(x0) -x/[√(1 + x^2) × e^x - (e^x - 1)/x]

然后，我们可以将分母中的分数化为通分的形式：

lim(x0) -x/[√(1 + x^2) × (x e^x - (e^x - 1)) / x]

化简后得到：

lim(x0) -e^x/[√(1 + x^2) × (x - (e^x - 1)/x)]

接下来，我们将此式子代入 x = 0，得到：

-lim(x0) e^x/√(1 + x^2) = -1/1 = -1

因此，原极限的值为 -1

Answer 2

分子分母分别等价无穷小代换，得
lim(x→0)[1-√(1+x^2)]/[x(e^x-1)] = - lim(x→0)[√(1+x^2)-1]/[x(e^x-1)]
= - lim(x→0)(x^2/2)/x^2 = -1/2