Question

求二重积分x²/y³,其中x=2+,y=x,xy=1

Answer 1

将 x 和 y 用 xy 表示出来：x=2+，y=x=2y，xy=1，解得 x=2^（1/3），y=2^（-2/3）。
则原式可表示为：
∫∫（x^2/y^3）dxdy，其中积分区域为：D={(x,y)|1/xy≤x≤2^（1/3），2^（-2/3）≤y≤1/xy}。
先对 x 进行积分：
∫（x^2/y^3）dx = （1/3）x^3 / y^3 + C（其中 C 为常数）
将积分结果带入原式中，并对 y 进行积分：
∫∫（x^2/y^3）dxdy = ∫（（1/3）x^3 / y^3 + C）∣2^（-2/3）≤y≤1/xy）dy
= C∫2^（-2/3）≤y≤1/xy dy + （1/3）∫2^（-2/3）≤y≤1/xy（1/y^3）dx
= C ln(xy) ∣2^（-2/3）≤y≤1/xy + （1/9）y^-3 ∣2^（-2/3）≤y≤1/xy
= C ln 2 + C ln 3 + （1/3）(1-2^-3/2)
我们需要求出常数 C 的值，即再求出一次积分：
∫2^（1/3）≤x≤2，∫2^（-2/3）≤y≤1/xy（x^2/y^3）dydx
将 y 用 x 表示出来：y = 1/x^2，积分区域变为：E={(x,y)| 2^（1/3）≤x≤2，2^（-2/3）≤y≤x^2}。
则原式变为：
∫2^（1/3）≤x≤2，∫2^（-2/3）≤y≤x^2（x^2/y^3）dydx
= ∫2^（1/3）≤x≤2，x^2 ∫2^（-2/3）≤y≤x^2（1/y^3）dydx
= ∫2^（1/3）≤x≤2，(1/2)x^2 - (2/3)x^(1/3) dx
= （1/6）(16-3√2)
由积分结果和原式可知：
C ln 2 + C ln 3 + （1/3）(1-2^-3/2) = （1/6）(16-3√2)
解得 C = （1/3）(4 ln 2 + 4 ln 3 - 2^-3/2 + ln 3 - ln 2)。
所以原式的值为：
C ln(xy) ∣2^（-2/3）≤y≤1/xy + （1/9）y^-3 ∣2^（-2/3）≤y≤1/xy
= （1/3）(4 ln 2 + 4 ln 3 - 2^-3/2 + ln 3 - ln 2) ln 2 + （1/3）(4 ln 2 + 4 ln 3 - 2^-3/2 + ln 3 - ln 2) ln 3 + （1/3）(1-2^-3/2)
= （1/3）(10 ln 2 + 10 ln 3 - 2^-3/2 + 1)
≈ 1.8325。