Question

求两道高中数学题，步骤要详细，谢谢

1.已知抛物线y^=-x与直线y=k（x+1）相交于A,B两点，O为坐标原点
（1）求证OA垂直于OB
（2）当△OAB的面积等于√10时，求k的值
2.已知直线l：x-y+3=0及圆C：x^+（y-2）^=4，令圆C在x轴同侧移动且与x轴相切
（1）圆心在何处时，圆在直线l上截得的弦最长？
（2）圆心在何处时，l与y轴的交点把弦分成1：2？
第一题不对。。

Answer 1

1.(1)假设OA=（xA,yA）,OB=(xB,yB)则
OA*OB=xAxB+yAyB=xAxB+k^2(xA+1)(xB+1)=(1+k^2)(xAxB)+k^2(xA+xB)+k^2
把直线代入抛物线中化简有
k^2x^2+(2k^2+1)x+k^2=0即x^2+(2+1/k^2)x+1=0
所以由伟达定理得
xA+xB=-(2+1/k^2)
xAxB=1
代入得（1+k^2）-k^2(2+1/k^2)+k^2=0所以OA*OB=0即有OA⊥OB
(2)AB长度为√(1+k^2)*|xA-xB|
而O到直线的距离为|k|/(√(1+k^2))
又面积为√10所以有|k||xA-xB|=2√10
得k^2(xA-xB)^2=40
k^2[(xA+xB)^2-4xAxB]=40代入化简并求解有
k^2=1/36得k=±1/6代入即得两个答案。
2.（1）最长则弦为直径即圆心在直线上，又圆与x轴相切所以y值取2，把y=2代入直线得x=-1即圆心在（-1，2）处满足；

（2）l与y轴的交点为（0，3）
直线l的参数方程改写为：x=t,y=t+3;
代入圆（x-a）^2+(y-2)^2=4中，这里a待求
得2t^2+(2-2a)t+(a^2-3)=0依题意有两根满足x1=2x2所以有
x1+x2=3(x2),x1x2=2(x2)^2所以
2（x1+x2）^2=18(x2)^2=9x1x2
由伟达定理
x1+x2=a-1,x1x2=(a^2-3)/2
代入化简得
5a^2+8a-31=0
解出a来即可得答案为（a,2）

Answer 2

1.已知抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）相交于A,B两点，O为坐标原点
（1）求证OA垂直于OB
（2）当△OAB的面积等于√10时，求k的值

(1)将y=k（x+1）代入y²=-x并整理得k²x²+(2k²+1)x+k²=0。
知x1*x2=1,x1+x2=-(2k²+1)/k²。
y1*y2=k²(x1+1)*(x2+1)
=k²[x1*x2+(x1+x2)+1]
=k²[1-(2k²+1)/k²+1
=-1。
因为x1*x2+y1*y2
=0，所以，OA垂直于OB。

(2)(1+k²)[(x1+x2)²-4x1*x2]*[k²/(1+k²)]=40,得
k²[-(2k²+1)/k²]²-4k²=40，即
4k²+1=40k²
得k=1/6或k=-1/6。

2.已知直线l：x-y+3=0及圆C：x²+(y-2)²=4，令圆C在x轴同侧移动且与x轴相切
（1）圆心在何处时，圆在直线l上截得的弦最长？
（2）圆心在何处时，l与y轴的交点把弦分成1：2？

(1)显然，当且仅当圆心在直线上时截得的弦最长。
此时，y=2，有x=-1,即当圆心为（-1，2）时，圆在直线l上截得的弦最长。

(2)l与y轴的交点为M(0,3),设圆心C(a,2),弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，有圆心到弦的距离为|a+1|/√2，此时圆的方程为(x-a)²+(y-2)²=4。
将直线方程y=x+3代入圆的方程中并整理得2x²-2(a-1)x+a²-3=0。由韦达定理得x1+x2=a-1,x1*x2=(a²-3)/2,
|AB|=(√2)√[(x1+x2)²-4x1*x2]
=(√2)√[(a-1)²-2(a²-3)]
=(√2)√(-a²-2a+7)。
由题意可得方程CM²-(|a+1|/√2)²=(|AB|/6)²,即
a²+1-(a²+2a+1)/2=(-a²-2a+7)/18得
5a²-8a+1=0，解得
a=(4+√11)/5或a=(4-√11)/5。

Answer 3

对图形旋转180度，抛物线成为y^=x，直线为y=k（x-1）,①[t1^,t1][t2^,t2]t1/[t1^-1]=t2/[t2^-1],t1t2^-t1=t2t1^-t2,t1t2[t2-t1]=t1-t2,t1t2=-1,[t1/t1^]*[t2/t2^]=-1,②有上面还会得到[t2-t1]/[t2^-t1^]=k,t1+t2=1/k,t1t2=-1注意用到三角形是直角的条件△OAB的面积等于1/2{t1^t2^+t1^4t2^4+t1^t2^*(t1^+t2^)}=0.5*√{1+1+1*(1/k^+2)}=√10,解得k=±[1/6]二l与y轴的交点把弦分成1：2 包括交点的左边的部分弦
是点右边的部分弦的两倍，交点的左边的部分弦
是点右边的部分弦的0.5倍，[2t^2+(2-2a)t+(a^2-3)=0依题意有两根满足x1=2x2所以有 ]应该改为[假设x1＜x2],x1=-2x2,或者2x1=-x2,两根符号相反，需要负号建立对应的长度的关系