如何证明三角形ABC为等边三角形。
大致思路：先构造出△PAB，使∠PAB=30°，再构造射线BQ，使角PBQ=30°，证明若能在射线BQ上找一点C，使∠ACP=30°，则△ABC为等边三角形。
解：建立平面直角坐标系xAy，A（0，0）
作直线AP：y=√3/3 x，任取点P（a，√3/3 a)
在x轴正半轴上找点B，B（b，0）
则tan∠PBA=(√3/3)a/(b-a)
再做直线BQ，其斜率为k1，
tan∠ABQ=【√3/3+tan∠PBA】/【1-(√3/3)tan∠PBA】=-k1k1=√3b/(3b-4a)
直线BQ：y=k1x-k1b
若能在射线BQ上找一点C，使∠ACP=30°则过A，C，P三点的圆中，AP对的圆周角为30°，则圆心角为60°易知 此圆圆心O（0,2√3/3 a）
要有交点则 要O到BQ距离d≤半径R=2√3/3 a
d=|-2√3/3 a-k1b|/√(1²+k1²)
d²-4/3a²=b²(12a²-12ab+3b²)/(12b²-24ab+16a²)≤0
因为 b²/【3b²+(4a-3b)²】＞0，
所以12a²-12ab+3b²=3(2a-b)²≤0
仅当b=2a时，不等式成立
此时tan∠ABP=√3/3，∠ABP=30°
又因为 BQ切圆O于C，BA切圆O于A
所以 BA=BC，
又∠BAC=60°
所以△ABC是等边三角形
此方法属于紫罗兰本人。
方法2：
设三个角，分别为αβγ
然后，就可以开始用正弦定理计算了
AP/BP=sinβ/sin30°=2sinβ
同理，BP/CP=2sinγ
CP/AP=2sinα
三个式子相乘得到：sinαsinβsinγ=1/8
由于α+β+γ=90°
所以可以把这个式子变形
接下来只需证明：sinαsinβsinγ≤1/8，等号当且仅当α=β=γ=30°时取得
变形。
sinαsinβsinγ
=sinα×1/2[cos(β-γ)-cos(β+γ)]
注意到两件事实
第一，cos(β-γ)≤1，等号当且仅当β=γ时成立
第二，cos(β+γ)=cos(90-α)=sinα
所以，sinαsinβsinγ≤1/2sinα×(1-sinα)
明显的，右端的式子≤1/8
因为sinα×(1-sinα)≤1/4
等号当且仅当sinα=1/2时，即α=30°时成立
回到原式，sinαsinβsinγ=1/8 成立的条件是α=30°且β=γ
即α=β=γ=30°时才成立
此时
⊿ABC为等边三角形
