Question

离散数学题2 求解 20+5

第三章 结构代数(群论初步)
3-1 给出集合及二元运算，阐述是否代数系统，何种代数系统 ？
（1）S1 = {1，1/4,1/3,1/2,2，3，4}，二元运算 * 是普通乘法。
（2）S2 = {a1，a2，……，an}，ai ∈R，i = 1，2，……，n ；
二元运算 。定义如下：对于所有 ai，aj ∈S2，都有 ai 。aj = ai 。
（3）S3 = {0，1}，二元运算 * 是普通乘法。

3-2 在自然数集合上，下列那种运算是可结合的 〔 〕
A．x*y = max(x,y) ； B．x*y = 2x+y ；
C．x*y = x2+y2 ； D．x*y =｜x-y｜..

3-3 设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算 。，对于所有 x，y ∈Z 都有
x 。y = x + y ＋ 5，
试问〈Z，。〉能否构成群，为什麽 ？

Answer 1

3-1（1）答案：不是代数系统，不具有封闭性，1/3,1/2属于S1,但1/3*1/2=1/6不属于S1。
（2）答案：是代数系统，具有结合性，(ai 。aj)。ak = ai 。(aj。ak)= ai,故该代数系统是半群。
（3）答案：是代数系统，具有结合性和交换性，1是幺元，故该代数系统是交换幺半群（独异点）。
3-2 。答案：A,C是可结合的，
A.( x*y)*z = max((x*y),z)= max(max(x,y),z)= max(x,y,x)
同理 x*（y*z）= max(x,y,x)，故( x*y)*z = max(x,y,x)，具有结合性。
B.（1*2）*3=4*3=8+3=11，1*（2*3）= 1*7=9，故不具有结合性。
C. （x*y）*z =（x*y）^2+z^2=x^2+y^2+z^2= x^2+（y*z）^2=x*(y*z)，故具有结合性。
D. （3*2）*1=｜（3*2）-1｜=｜1-1｜=0, 3*(2*1）=｜3-(2*1)｜=｜3-1｜=2，故不具有结合性。
3-3 .答案:<Z,*〉能构成群,
（x *y）*z=(x*y)+z+5=x+y+5+z+5=x+y+z+10,同理x*(y*z)= x+y+z+10,故（x*y）*z=x*(y*z)，具有结合性；对任意x，x*(-5)=x+(-5)+5=x,故-5是幺元。对任意x，y=-10-x,则有
x*y=x+(-10-x)+5=-5,同理y*x=(-10-x)+x+5=-5, y=-10-x是x的逆元，故〈Z,*〉是群。

Answer 2

S1不满足封闭性 1/4 * 1/3= 1/12
S2不存在单位元，不是群，只有一个运算定义不是环
s3 满足封闭性 ，有单位元，是一个群

3-2 A （X*Y）*Z=X*（Y*Z）求X，Y，Z中三个最大的
3-3 设e为单位元
x*e=x+e+5=x e=-5
e*x=e+x+5=x e=-5
单位元存在，封闭性和结合律自己可以验证