Question

高中数学题在△ABC中,若acosA+bcosB=ccosC，则△ABC的形状是

在△ABC中,若acosA+bcosB=ccosC，则△ABC的形状是
希望有详细地解答过程。

Answer 1

令k=a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以a=ksinA
b=ksinB
c=ksinC
代入acosA+bcosB=ccosC，并约去k
sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
sin2A+sin2B=2sinCcosC
sin[(A+B)+sin(A-B)]+sin[(A+B)-sin(A-B)]=2sinCcosC
sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos(A+B)sin(A-B)=2sinCcosC
2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC
sin(A+B)=sin(180-C)=sinC
所以cos(A-B)=cosC
所以A-B=C
A=B+C
所以A=90
所以是直角三角形

Answer 2

因为a／sinA=b／sinB=c／sinC=2R
所以a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC
原式=sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
sin2A+sin2B=2sinCcosC
sin[(A+B)+sin(A-B)]+sin[(A+B)-sin(A-B)]=2sinCcosC
sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos(A+B)sin(A-B)=2sinCcosC
2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC 因为sin(A+B)=sin(180-C)=sinC
所以cos(A-B)=cosC
cosAcosB+sinAsinB=cos[180°－﹙A+B﹚]
cosAcosB+sinAsinB=－cos﹙A+B﹚
cosAcosB+sinAsinB=－cosAcosB﹢sinAsinB
2cosAcosB=0 所以 cosAcosB=0
所以cosA=0或cosB=0 即A=90°或B=90°
所以是直角三角形

Answer 3

acosA+bcosB=ccosC,
a*(b^2+c^2-a^2)/2bc+b*(a^2+c^2-b^2)/2ac=c*(a^2+b^2-c^2)/2ab,
同时乘2abc,得
a^4+b^4-2(ab)^2=c^4,
(a^2-b^2)^2=c^4,
a^2-b^2=c^2,
a^2=b^2+c^2,
a=b+c
所以a=90
所以是直角三角形

Answer 4

用余弦定理
acosA+bcosB=ccosC,
a*(b^2+c^2-a^2)/2bc+b*(a^2+c^2-b^2)/2ac=c*(a^2+b^2-c^2)/2ab,
同时*2abc,得
a^4+b^4-2(ab)^2=c^4,
(a^2-b^2)^2=c^4,
a^2-b^2=c^2,
a^2=b^2+c^2,
直角三角形.

Answer 5

acosA+bcosB=ccosC
a(b^2+c^2-a^2)/(2bc)+b(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=c(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
a^2(b^2+c^2-a^2)+b^2(a^2+c^2-b^2)=c^2(a^2+b^2-c^2)
a^4-2a^2b^2+b^4-c^4=0
(a^2-b^2)^2-c^4=0
(a^2+c^2-b^2)(a^2-b^2-c^2)=0
a^2+c^2=b^2或a^2=b^2+c^2
所以：
△ABC的形状是直角三角形 直角为A，或B