Question

∫(Sinx+x^2/1+x^2)dx 上限是1,下限是-1，请问怎么解这定积分

Answer 1

不用算出原函数，直接运用奇偶函数性质。
∫(- 1~1) [sinx + x²]/[1 + x²] dx
= ∫(- 1~1) sinx/[1 + x²] dx + ∫(- 1~1) x²/[1 + x²] dx
= 奇函数 + 偶函数
= 0 + 2∫(0~1) x²/[1 + x²] dx
= 2∫(0~1) [(1 + x²) - 1]/[1 + x²] dx
= 2∫(0~1) [1 - 1/(1 + x²)] dx
= 2[x - arctan(x)] |(0~1)
= 2[1 - π/4]
= 2 - π/2