Question

求不定积分∫x^2arcsinx/√(1-x^2)

Answer 1

具体回答如下：

令t = arcsinx，dx = cost dt

I = ∫ t sin²t dt = (1/2) ∫ t (1﹣cos2t) dt

= (1/4) t² ﹣(t/4)sin2t + (1/4) ∫ sin2t dt

= (1/4) t² ﹣(t/4)sin2t ﹣ (1/8) cos2t + C 

= (1/4)arcsin²x ﹣(1/2) x √(1-x²) arcsinx ﹣ (1/8) (1﹣2x²) + C

= (1/4)arcsin²x ﹣(1/2) x √(1-x²) arcsinx + (1/4) x² + C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

换元，t = arcsinx, dx = cost dt
I = ∫ t sin²t dt = (1/2) ∫ t (1﹣cos2t) dt
= (1/4) t² ﹣(t/4)sin2t + (1/4) ∫ sin2t dt
= (1/4) t² ﹣(t/4)sin2t ﹣ (1/8) cos2t + C
= (1/4)arcsin²x ﹣(1/2) x √(1-x²) arcsinx ﹣ (1/8) (1﹣2x²) + C
= (1/4)arcsin²x ﹣(1/2) x √(1-x²) arcsinx + (1/4) x² + C

Answer 3

∫x^2arcsinx/√(1-x^2)dx
=∫(x^2-1+1)arcsinx/√(1-x^2)dx
=-∫√(1-x^2)arcsinxdx+∫arcsinx/√(1-x^2)dx
=-x√(1-x^2)arcsinx+∫xd[√(1-x^2)arcsinx]+(1/2)(arcsinx)^2
=-x√(1-x^2)arcsinx+∫xdx-∫x^2arcsinx/√(1-x^2)dx+(1/2)(arcsinx)^2
=(x^2/2)-x√(1-x^2)arcsinx-∫x^2arcsinx/√(1-x^2)dx+(1/2)(arcsinx)^2
移项除以2得：
∫x^2arcsinx/√(1-x^2)dx
=(1/4)[x^2-2x√(1-x^2)arcsinx+(arcsinx)^2]+C

Answer 4

Answer 5

不对，解法没对