Question

空间曲线切线及法平面

若空间曲线的参数方程为x=a(t),y=b(t),z=c(t),t属于[d,e]，三个函数都在[d,e]上可导，且三个导数不同时为零。现在要求曲线在其上的一点M(xo,yo,zo)处的切线及法平面方程。 解答过程：设与点m对应的参数为to，记f(t)=(a(t),b(t),c(t)),由向量值函数的导向量的几何意义知，向量T=f(to)=(a'(to),b'(to),c'(to))就是曲线在点m处的一个切向量，从而曲线在点M处的切线方程为(x-x0)/a'(to)=(y-yo)/b'(to)=(z-zo)/c'(to).通过点M且与切线垂直的平面称为曲线在点M处的法平面，它通过点m(xo,yo,zo)且以T=f‘(to)为法向量的平面。因此法平面方程为a'(to)(x-xo)+b'(to)(y-yo)+c'(to)(z-zo)=0。我的问题是：(1)切线方程为什么是(x-x0)/a'(to)=(y-yo)/b'(to)=(z-zo)/c'(to)；(2)(x-x0)/a'(to)，(y-yo)/b'(to)，(z-zo)/c'(to)分别表示什么意思，在图形上代表什么；法平面方程为a'(to)(x-xo)+b'(to)(y-yo)+c'(to)(z-zo)=0为什么是这样？

Answer 1

(1)切线方程为什么是(x-x0)/a'(to)=(y-yo)/b'(to)=(z-zo)/c'(to)

切向量=﹛a'(to),b'(to),c'(to)﹜。﹙x,y,z﹚是切线上←→﹛x-x0,y-y0,z-z0﹜∥﹛a'(to),b'(to),c'(to)﹜

∴切线方程是(x-x0)/a'(to)=(y-yo)/b'(to)=(z-zo)/c'(to) [平行向量的分量成比例。)(x-x0)/a'(to)，(y-

yo)/b'(to)，(z-zo)/c'(to)都是这个比例的比值，在图形上代表这两个向量的比值]

﹙x,y,z﹚在法平面上←→﹛x-x0,y-y0,z-z0﹜⊥﹛a'(to),b'(to),c'(to)﹜

←→﹛x-x0,y-y0,z-z0﹜•﹛a'(to),b'(to),c'(to)﹜＝0

←→a'(to)(x-xo)+b'(to)(y-yo)+c'(to)(z-zo)=0

追问

谢谢您的精辟解答。
再问个小白问题，切向量={a'(to),b'(to),c'(to)}为什么会和{x-xo,y-yo,z-zo}平行呢？这里应该有个逻辑，我没有搞懂。谢谢您的解答。

追答

严格地说，这里不应该叫平行，而是“共线”，即方向一致或者方向相反。所以分量成比例。

追问

请问他们为什么共线呢？还是没有想通。

另外，a'(to)在几何上表示什么意义呢？

追答

设α，β，γ是切线与x轴,y轴，z轴的夹角。

则cosα＝a'(to)/√[a'(to)²+b'(to)²+c'(to)²]

cosβ＝b'(to)/√[a'(to)²+b'(to)²+c'(to)²]

cosγ＝c'(to)/√[a'(to)²+b'(to)²+c'(to)²]