Question

设f(x)=∫-1到x(3x+1)dt,则f’(x+)=

Answer 1

问：设f(x)=∫-1到x(3x+1)dt,则f’(x+)=

答：你好，很高兴为你解答亲的，这道题结果是设f(x)=∫-1到x(3x+1)dt,则f’(x+)==lnx

答：解过程：先用分部积分法：∫lntdt=tlnt-∫tdlnt=tlnt-∫t (1/t) dt=tlnt-∫dt=tlnt-t然后将积分上下限代入求定积分得：f(x)=xlnx-x-(1ln1-1)=xlnx-x+1求导得：f'(x)=lnx+x(1/x)-1=lnx+1-1=lnx

答：拓展分析：分段函数的积分必须分段求解，故先将原式化成∫-1f（x）dx+∫1f（x）dx，再分别求各个和式的积分，最后只要求出被积函数的原函数，结合积分计算公式求解即可．∫-11f（x）dx=∫-1f（x）dx+∫1f（x）dx=∫1（x-1）dx+∫1（x2+6）dx=（x2-x）|-1+（x3+6x）|1=-（+1）++6=．∴∫-11f（x）dx=．

答：所以结果是本小题主要定积分的应用、导数等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．

答：还有道题这么多

答：我给你机会给道题一个，令√x=t，那么得到原积分=∫(0到2) d(t^2) /(1+t)=∫(0到2) 2t/(1+t) dt=∫(0到2) 2- 2/(1+t) dt=2t -2ln|1+t| 代入上下限2和0解得定积分值 =4 -2ln3

答：解过程：∫（0到4）dx/（1+√x）57令√x=t，那么得到原积分=∫(0到2)d(t^2)/(1+t)=∫(0到2)2t/(1+t)dt=∫(0到2)2-2/(1+t)dt=2t-2ln|1+t|代入上下限2和0解得定积分值=4-2ln3

答：拓展：不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。需要注意的是不是所有函数都能积分出来，同时各种方法可以用其一也可以多种方法综合应用。以上例子是凑分法和分部积分法的综合应用。