Question

设ln(1+x)是f(x)的一个原函数,则不定积分(x+1)f'(x)dx

Answer 1

问：设ln(1+x)是f(x)的一个原函数,则不定积分(x+1)f'(x)dx

答：您好， 令 $t = \ln x$， 则：$x = e^t$，$dx = e^t dt$， $f(t) = \frac{\ln(1 + e^t)}{e^t}$， $f(x) = \frac{\ln(1 + e^x)}{e^x}$， $\int f(x) dx = \int \frac{\ln(1 + e^x)}{e^x} dx$， 再令 $t = e^x$，则 $x = \ln t$，$dx = \frac{dt}{t}$， 上式 $\int \frac{\ln(1 + e^x)}{e^x} dx = \int \frac{\ln(1 + t)}{t} \frac{dt}{t} = -\int \frac{\ln(1 + t)}{t} d\left(\frac{1}{t}\right)$， $= -\frac{1}{t} \ln(1 + t) + \int \frac{1}{t} d\ln(1 + t)$， $= -\frac{1}{t} \ln(1 + t) + \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{1 + t} dt$， $= -\frac{1}{t} \ln(1 + t) + \ln t - \ln(1 + t) + c$， $= -e^{-x} \ln(1 + e^x) + x - \ln(e^x + 1) + c.$