limx→0(arcsin5x-sin3x)/sinx的极限

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Angel7天

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摘要利用极限的四则运算法则，我们可以先求出分子与分母的极限：

$\lim_{x \to 0} \arcsin(5x) = \arcsin(0) = 0$

$\lim_{x \to 0} \sin(3x) = \sin(0) = 0$

$\lim_{x \to 0} \sin(x) = \sin(0) = 0$

因此，分子与分母的极限都为0，分式的极限形式为“0/0”，需要进行变形。

使用泰勒公式将 $\arcsin(5x)$ 与 $\sin(3x)$ 在 $x=0$ 处展开：

$\arcsin(5x) = 5x + O(x^3)$

$\sin(3x) = 3x + O(x^3)$

代入原式，并化简得：

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin5x-\sin3x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{(5x+O(x^3))- (3x+O(x^3))}{x+O(x^3)}= \lim_{x \to 0} \frac{(2x+O(x^3))}{(x+O(x^3))}= \lim_{x \to 0} [2 + O(x^2)]= 2$

因此，原式的极限为2。

咨询记录 · 回答于2023-12-29

limx→0(arcsin5x-sin3x)/sinx的极限

啊？

亲怎么了。

太乱了，看不太懂

利用极限的四则运算法则，我们可以先求出分子与分母的极限： limx→0 arcsin(5x) = arcsin(0) = 0 limx→0 sin(3x) = sin(0) = 0 limx→0 sin(x) = sin(0) = 0 因此，分子与分母的极限都为0，分式的极限形式为“0/0”，需要进行变形。使用泰勒公式将arcsin(5x)与sin(3x)在x=0处展开： arcsin(5x) = 5x + O(x^3) sin(3x) = 3x + O(x^3) 代入原式，并化简得： limx→0 (arcsin5x-sin3x)/sinx = limx→0 [(5x+O(x^3))- (3x+O(x^3))]/(x+O(x^3)) = limx→0 [(2x+O(x^3)) /(x+O(x^3))] = limx→0 [2 + O(x^2)] = 2 因此，原式的极限为2。

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