Question

.求微分方程 ydx=(1+xlny)xdx 的通解.

Answer 1

问：.求微分方程 ydx=(1+xlny)xdx 的通解.

答：将微分方程移项并整理，得到：ydx - (1+xlny)xdx = 0我们可以使用恰当的积分因子来求解这个微分方程。根据常数变易法，假设积分因子为μ(x,y)，则将方程乘以μ(x,y)，可以得到：μ(x,y)ydx - μ(x,y)(1+xlny)xdx = 0接下来，我们需要确定μ(x,y)的形式，使得上式成为一个恰当微分方程。观察到：∂(μy)/∂x - ∂(μ(1+xlny))/∂y = 0解这个偏微分方程，可以得到：μ(x,y) = e^(∫(1/x - ln(y))/x dx)化简后得到：μ(x,y) = y^(-lnx)将μ(x,y)代入原方程，得到：y^(-lnx) ydx - y^(-lnx)(1+xlny)xdx = 0可以化简为：d(xy^(1-lnx)) = 0对其进行不定积分，得到：xy^(1-lnx) = C其中C是常数，它代表着通解中的任意常数。将y^(1-lnx)移项，得到：y = Cx^(1/(1-lnx))这就是微分方程的通解。