Question

用定积分求由y=x^2+1,y=0,x=1,x=0所围平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积

Answer 1

问：用定积分求由y=x^2+1,y=0,x=1,x=0所围平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积

答：首先，画出所求图形在 xy平面内的示意图，该图形被 x轴截成了两段，因此可以分别计算两段的旋转体积再相加。设 V表示所求的旋转体积，则有：V = 2\pi\int_{0}^{1}x\left[(x^2+1)^2\right]dx对被积函数展开后，有：V = 2\pi\int_{0}^{1}(x^5+2x^3+x)dx计算不定积分，得：V = 2\pi\left[\frac{1}{6}x^6+\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{1}=\frac{7\pi}{3}因此，所求的旋转体体积为 \frac{7\pi}{3}

答：亲亲，我的解答过程你能清楚吗

答：好的，以下是使用纯中文字符重新计算该题的过程：首先，我们需要确定旋转体的截面积。根据题目中所给的图形，该截面为一个以 x 轴为底的圆形，半径为 y=x²+1。因此，该截面积为：A = πy² = π(x²+1)²接下来，我们需要确定旋转体的高度。旋转体的高度为 h=1-0=1，因此，旋转体的体积可以表示为：V = Ah = ∫₀¹π(x²+1)²dx我们可以先将 (x²+1)² 展开，有：(x²+1)² = x⁴+2x²+1因此，∫₀¹π(x²+1)²dx = ∫₀¹π(x⁴+2x²+1)dx将被积函数展开，有：∫₀¹π(x⁴+2x²+1)dx = π∫₀¹x⁴dx + π∫₀¹2x²dx + π∫₀¹1dx分别计算每个积分，有：∫₀¹x⁴dx = 1/5∫₀¹2x²dx = 2/3∫₀¹1dx = 1因此，∫₀¹π(x⁴+2x²+1)dx = π(1/5+2/3+1) = 16/15π因此，由 y=x²+1, y=0, x=1, x=0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 16/15π。

答：如果看不懂我用了简单的方式为您表示出来

问：计算广义积分∫+x /e -100xdx

答：如果还有需要，可以继续联系我

问：不是还剩我5轮呢吗

答：亲亲，我给你解答吧

问：先做题

答：首先，这是一个广义积分，因此我们需要确定积分的上限。假设上限为正无穷大，那么我们可以写出积分式：∫0到+∞ x/e^(-100x) dx接下来，我们可以使用分部积分法来求解这个积分。令u=x，dv=e^(-100x)dx，则du=dx，v=(-1/100)e^(-100x)，那么：∫0到+∞ x/e^(-100x) dx = [-x(1/100)e^(-100x)]0到+∞ + (1/100)∫0到+∞ e^(-100x) dx对于第一项，由于e^(-100x)在x趋近于正无穷时趋近于0，因此第一项等于0。对于第二项，我们可以使用指数函数的积分公式得到：∫0到+∞ e^(-100x) dx = [-1/100 e^(-100x)]0到+∞ = 1/100因此，原式的值为：∫0到+∞ x/e^(-100x) dx = (1/100)因此，这个广义积分的值为1/100。