设n维线性空间V有一组基,这组基的每个基向量生成的子空间都是V上线性变换A的不变子空间，证明：A在这组基下的矩阵必是对角矩阵
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你好
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依据题意，设V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，且对于任意i∈{1, 2, ..., n}，有Avi=kivi，其中ki为常数，表示vi被A映射后仍在生成它的子空间中哦。
我们需要证明A在这组基下的矩阵必是对角矩阵。可以用数学归纳法来证明。当n=1时，显然A的矩阵必为对角矩阵。假设命题对于n-1维线性空间成立，即任意n-1维线性空间上的线性变换都可以表示为一个对角矩阵。现在考虑n维线性空间V上的线性变换A。由于Avi=kivi，所以Avi表示为ki(vi的线性组合)。
我们可以选取vi的某个分量作为标量乘子，使得ki=1，因为我们可以将vi乘上适当的常数并不影响它是V的基向量以及生成V上的子空间。此时，Vi的其他分量为0，其余基向量的这个分量也为0。所以，我们可以选取V的基向量的一个排列，使得对于任意i∈{1, 2, ..., n}，有Avi=ki(vi的线性组合)，其中vi的某个分量为1，其余的分量为0。这时，A在这组基下的矩阵就变成了一个对角矩阵，证毕。
咨询记录 · 回答于2023-12-30
设n维线性空间V有一组基,这组基的每个基向量生成的子空间都是V上线性变换A的不变子空间，证明：A在这组基下的矩阵必是对角矩阵
你好，
依据题意，设V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，且对于任意i∈{1, 2, ..., n}，有Avi=kivi，其中ki为常数，表示vi被A映射后仍在生成它的子空间中。
我们需要证明A在这组基下的矩阵必是对角矩阵。可以用数学归纳法来证明。当n=1时，显然A的矩阵必为对角矩阵。假设命题对于n-1维线性空间成立，即任意n-1维线性空间上的线性变换都可以表示为一个对角矩阵。现在考虑n维线性空间V上的线性变换A。
由于Avi=kivi，所以Avi表示为ki(vi的线性组合)。我们可以选取vi的某个分量作为标量乘子，使得ki=1，因为我们可以将vi乘上适当的常数并不影响它是V的基向量以及生成V上的子空间。此时，Vi的其他分量为0，其余基向量的这个分量也为0。
所以，我们可以选取V的基向量的一个排列，使得对于任意i∈{1, 2, ..., n}，有Avi=ki(vi的线性组合)，其中vi的某个分量为1，其余的分量为0。这时，A在这组基下的矩阵就变成了一个对角矩阵，证毕。
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依据题意，设V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，且对于任意i∈{1, 2, ..., n}，有Avi=kivi，其中ki为常数，表示vi被A映射后仍在生成它的子空间中。
我们需要证明A在这组基下的矩阵必是对角矩阵。可以用数学归纳法来证明。当n=1时，显然A的矩阵必为对角矩阵。假设命题对于n-1维线性空间成立，即任意n-1维线性空间上的线性变换都可以表示为一个对角矩阵。现在考虑n维线性空间V上的线性变换A。
由于Avi=kivi，所以Avi表示为ki(vi的线性组合)。我们可以选取vi的某个分量作为标量乘子，使得ki=1，因为我们可以将vi乘上适当的常数并不影响它是V的基向量以及生成V上的子空间。此时，Vi的其他分量为0，其余基向量的这个分量也为0。
所以，我们可以选取V的基向量的一个排列，使得对于任意i∈{1, 2, ..., n}，有Avi=ki(vi的线性组合)，其中vi的某个分量为1，其余的分量为0。这时，A在这组基下的矩阵就变成了一个对角矩阵，证毕。
1. 这个结论非常有用。比如，如果我们要寻找一个线性变换的特征向量，我们就可以将它表示为一个对角矩阵，求出对角矩阵的每个对角线上的元素，这些元素就是这个线性变换的特征值。
2. 这个结论可以推广到一些更一般的情况中。比如，我们可以考虑A在一组不一定是V的基的向量组下的矩阵表示。我们可以将这个向量组扩展为V的一组基，然后按照上述证明过程来处理。
3. 这个结论还可以用来证明矩阵的相似性。如果两个矩阵A和B相似，那么它们一定有相同的特征值和特征向量，这意味着它们在某些基下的矩阵表示都是对角矩阵。
你好，2023年鸡西之夜将于当年的8月12开业，具体时间为晚上7点哦。
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