Question

已知X，Y均大于0，且8/X+1/Y=1，则X^2+Y^2的最小值。用拉格朗日乘数法怎么做，过程求求求

Answer 1

问：已知X，Y均大于0，且8/X+1/Y=1，则X^2+Y^2的最小值。用拉格朗日乘数法怎么做，过程求求求

答：这是一个有约束的优化问题，可以使用拉格朗日乘数法来解决。 首先，我们需要设立一个目标函数和一个约束函数。由题目可知，我们需要最小化的目标函数是 $F(X,Y) = X^2 + Y^2$，约束条件为 $G(X,Y) = \frac{8}{X} + \frac{1}{Y} - 1 = 0$。 然后，我们定义拉格朗日函数 $L(X,Y,\lambda) = F(X,Y) + \lambda G(X,Y) = X^2 + Y^2 + \lambda(\frac{8}{X} + \frac{1}{Y} - 1)$。 接下来，我们将拉格朗日函数对 $X, Y, \lambda$ 分别求偏导，并将结果设为0来得到一个方程组： $\frac{\partial L}{\partial X} = 2X - \lambda \left( \frac{8}{X^2} \right) = 0$（1） $\frac{\partial L}{\partial Y} = 2Y - \lambda \left( \frac{1}{Y^2} \right) = 0$（2） $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = \frac{8}{X} + \frac{1}{Y} - 1 = 0$（3） 然后，我们需要解这个方程组。将（1）整理后得：$2X^3 - \lambda \cdot 8 = 0$，也就是 $2X^3 = \lambda \cdot 8$，可以得出 $\lambda = \frac{2 \cdot X^3}{8} = \frac{X^3}{4}$。同理可以得出 $\lambda = \frac{Y^3}{4}$。比较得到 $X^3 = Y^3$，也就是 $X=Y$。 将 $X=Y$ 的结果代入（3）得：$\frac{8}{X} + \frac{1}{X} = 1$，也就是 $\frac{9}{X^2} = 1$，解得 $X=sq$

答：将X=Y的结果代入（3）得：8/X + 1/X = 1，也就是9/(X^2) = 1，解得X=sqrt(9)=3，所以Y=3.最后将结果代回目标函数即可得到最小值：F(3,3)=3^2+3^2=18。