Question

十个常用的泰勒展开公式

Answer 1

问：十个常用的泰勒展开公式

答：亲，下面是十个常用的泰勒展开公式：1. $\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$2. $\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$3. $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$4. $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$5. $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\binom{\alpha}{n}x^n$6. $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots=\sum_{n=0}^\infty x^n$7. $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^n$8. $\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$9. $(1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+\cdots=\sum_{n=0}^\infty x^n$10. $\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\cdots=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\binom{1/2}{n}\frac{x^{2n+1}

答：泰勒展开公式是数学中的一种重要工具，它可以用来近似计算各种函数的值。除了上述十个常用的泰勒展开公式外，还有很多其他的泰勒展开公式，如$\tan(x)$，$\cot(x)$，$\sec(x)$等三角函数的泰勒展开公式，以及各种特殊函数如贝塞尔函数、超几何函数、伽玛函数等的泰勒展开公式。在实际应用中，我们可以根据需要选择合适的泰勒展开公式来进行近似计算。同时，我们也需要注意泰勒展开公式的收敛半径问题，确保其在所需范围内的有效性哦。