Question

线性代数题目解疑

Answer 1

问：线性代数题目解疑

问：请问一下这个题怎么做

答：亲，线性代数题目是一种数学问题，涉及到线性方程、向量、矩阵、线性变换等概念和计算。这些问题包括了求解线性方程组、求向量的长度、判断向量是否共线、计算矩阵的秩、求特征值和特征向量等等。线性代数是应用广泛的数学分支之一，涉及到许多领域，如物理学、工程学、计算机科学等等。

答：设过渡矩阵为P，即P=[a1,a2,a3]^{-1}[p1,p2,p3]。首先求[a1,a2,a3]的逆矩阵：$$[a1,a2,a3]=\left[\begin{matrix}1&1&1\\0&1&-1\\1&-1&1\end{matrix}\right]\xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-r_1}\left[\begin{matrix}1&1&1\\0&1&-1\\0&-2&0\end{matrix}\right]\xrightarrow[r_3/(-2)]{r_2}\left[\begin{matrix}1&1&1\\0&1&-1\\0&1&0\end{matrix}\right]\xrightarrow[r_2+r_3]{r_1-r_2}\left[\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right].$$因此，$$P=[a1,a2,a3]^{-1}[p1,p2,p3]=\left[\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}3&2&0\\0&0&2\\1&0&-2\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}3&2&-2\\0&0&2\\1&0&-1\end{matrix}\right].$$

答：亲，看一下这个刚刚打错了。设向量v在基a1,a2,a3下的坐标为x，那么v在基p1,p2,p3下的坐标为y。转化公式为：y = Px其中P是过渡矩阵。为了求出P，我们需要把a1,a2,a3、p1,p2,p3这六个向量都表示成同一组基下的坐标，然后再用这些坐标构成矩阵。首先，我们需要把p1,p2,p3在基a1,a2,a3下的坐标求出来。设p1,p2,p3在基a1,a2,a3下的坐标分别为x1,x2,x3，那么我们可以得到下列三个线性方程组：x1 + x2 + x3 = 3x1 + x2 = 2x1 - x2 + x3 = 1解得 x1 = 2, x2 = 0, x3 = 1。因此，p1在基a1,a2,a3下的坐标是(2,0,1)^T，p2在基a1,a2,a3下的坐标是(2,-1,1)^T，p3在基a1,a2,a3下的坐标是(0,-2,2)^T。然后，我们需要把a1,a2,a3在基p1,p2,p3下的坐标求出来。用同样的方法，设a1,a2,a3在基p1,p2,p3下的坐标分别为y1,y2,y3，那么可以得到下列三个线性方程组：2y1 + 2y2 = 1y1 - y2 - 2y3 = 0y1 + y2 + 2y3 = 1解得 y1 = 1/2, y2 = 1/2, y3 = 1/4。因此，a1在基p1,p2,p3下的坐标是(1/2,1/2,1/4)^T，a2在基p1,p2,p3下的坐标是(1/2,-1/2,-1/4)^T，a3在基p1,p2,p3下的坐标是(1/2,-1/2,1/4)^T。现在，我们已经求出了p1,p2,p3在基a1,a2,a3下的坐标和a1,a2,a3在基p1,p2,p3下的坐标。把这些坐标放到一个矩阵中：(2,0,1; 2,-1,1; 0,-2,2) (p1在a1,a2,a3下的坐标；p2在a1,a2,a3下的坐标；p3在a1,a2,a3下的坐标)(1/2,1/2,1/4; 1/2,-1/2,-1/4; 1/2,-1/2,1/4) (a1在p1,p2,p3下的坐标；a2在p1,p2,p3下的坐标；a3在p1,p2,p3下的坐标)这个矩阵就是基a1,a2,a3到基p1,p2,p3的过渡矩阵P。